債券存續期間（Duration）是債券投資中一個核心概念，對於理解債券價格如何隨著利率變動而波動至關重要。本文將從基礎定義開始，逐步解釋存續期間的意義、計算方法，並深入探討它與利率的關係，最後回答「為什麼債券價格和利率成反比」。無論你是投資新手還是想深化理解，這篇文章都會幫你全面掌握這個概念。
一、什麼是債券存續期間？定義
存續期間是衡量債券價格對利率變動敏感度的一個指標，同時也表示債券現金流的平均回收時間。具體來說，它計算的是債券所有現金流（包括利息和本金）的加權平均時間，其中「加權」依據每筆現金流的現值（Present Value, PV）佔債券總價格的比例。
正式定義：
$$D_{Macaulay} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot PV(CF_t)}{P}$$
- ( t )：現金流發生的時間（以年為單位）
- ( PV(CF_t) )：第 ( t ) 年現金流的現值
- ( P )：債券當前價格（所有現金流現值的總和）
- ( n )：債券到期年數
存續期間通常以年為單位，分為兩種主要類型：
- 麥考利存續期間（Macaulay Duration）：計算現金流的加權平均時間。
- 修正存續期間（Modified Duration）：基於麥考利存續期間，進一步衡量價格對利率變化的敏感度。
二、存續期間的白話解釋
存續期間聽起來很專業，但用簡單的話來說，它就像是告訴你：「平均多久能把你投進債券的錢（本金加利息）拿回來」。它不是單純看債券什麼時候到期，而是把每次收到的利息和最後的本金，按照時間和金額的重要性「加起來平均」。
例如：
- 如果你買了一張每年付利息的債券，因為你提早拿到利息，存續期間會比到期時間短。
- 如果是零息債券（到期才一次付清本金和利息），存續期間就等於到期時間。
更重要的是，存續期間還告訴你債券對利率變化的「敏感度」。存續期間越長，利率一變，債券價格就跳得越厲害。比方說，存續期間是5年，利率上升1%，債券價格可能下跌5%左右。
三、存續期間的公式與計算方法
存續期間的計算有明確的數學公式，分為麥考利存續期間和修正存續期間兩種。
1. 麥考利存續期間公式
$$D_{Macaulay} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot PV(CF_t)}{P}$$
- 這是基礎公式，衡量現金流的加權平均時間。
2. 修正存續期間公式
$$D_{Modified} = \frac{D_{Macaulay}}{1 + y}$$
- ( y )：債券的到期收益率（Yield to Maturity, YTM），通常是每期的收益率（例如年利率除以付息次數）。
- 修正存續期間直接用來估計利率變動時債券價格的百分比變化。
3. 如何計算存續期間？
步驟如下（以麥考利存續期間為例）：
- 列出所有現金流：包括每期利息和到期時的本金。
- 計算現值：用到期收益率（YTM）將每筆現金流折現。
- 加權時間：每筆現金流的現值乘以發生的時間。
- 除以價格：加總所有加權時間，再除以債券總價格。
實際例子：
假設一張債券：
- 面值：1000元
- 年票息率：5%（每年付50元利息）
- 到期時間：3年
- 到期收益率（YTM）：5%
計算過程：
- 第1年現金流：50元，現值 = $$\frac{50}{1.05} = 47.62$$
- 第2年現金流：50元，現值 = $$\frac{50}{1.05^2} = 45.35$$
- 第3年現金流：1050元（本金+利息），現值 = $$\frac{1050}{1.05^3} = 907.03$$
- 債券價格 $$P = 47.62 + 45.35 + 907.03 = 1000$$
- 麥考利存續期間 = $$\frac{(1 \cdot 47.62) + (2 \cdot 45.35) + (3 \cdot 907.03)}{1000} = \frac{47.62 + 90.70 + 2721.09}{1000} = 2.86年$$
- 修正存續期間 =$$\frac{2.86}{1 + 0.05} = 2.72年$$
四、存續期間的意義
存續期間有兩個核心意義：
- 現金流回收時間：告訴你平均需要多久拿回投資的本金和利息。
- 利率敏感度：存續期間越長，債券價格對利率變化的反應越大。例如，修正存續期間為5，利率上升1%，債券價格下跌約5%。
五、存續期間與利率的關係
存續期間和利率的關係可以用以下幾點說明：
- 敏感度放大：
- 利率上升時，存續期間越長，債券價格下跌越多。
- 利率下降時，存續期間越長，債券價格上升越多。
- 數學關係：
$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{Modified} \cdot \Delta y$$
- ( \frac{\Delta P}{P} )：債券價格變動百分比
- ( D_{Modified} )：修正存續期間
- ( \Delta y )：利率變動幅度
- 利率對存續期間的影響：
- 當利率上升，現金流的現值分布改變，存續期間通常稍微縮短。
- 當利率下降，存續期間可能略為拉長。
比較表格：不同存續期間對利率變化的影響
| 債券類型 | 麥考利存續期間 | 修正存續期間 | 利率上升1%時價格變化 | 利率下降1%時價格變化 |
|---|---|---|---|---|
| 3年，5%票息 | 2.86年 | 2.72年 | -2.72% | +2.72% |
| 10年，5%票息 | 8.5年 | 8.1年 | -8.1% | +8.1% |
| 10年，零息債 | 10年 | 9.52年 | -9.52% | +9.52% |
六、為什麼債券價格和利率成反比？
債券價格和利率成反比的原因可以用白話和數學兩方面解釋：
1. 白話解釋
假設你買了一張債券，每年付50元利息。如果市場利率上升到6%，新發行的債券每年可能付60元利息。你的舊債券（50元）吸引力下降，沒人願意用原價買，所以價格只能下跌，讓它的收益率跟市場匹配。反過來，如果市場利率下降到4%，新債券只付40元，你的舊債券（50元）就顯得更值錢，價格會上升。
2. 數學原因
債券價格是未來現金流的現值總和：
$$P = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + y)^t}$$
- ( CF_t )：第 ( t ) 年現金流
- ( y )：折現率（即市場利率）
- 當 ( y ) 上升，denominator 變大，現值變小，價格下跌。
- 當 ( y ) 下降，現值變大，價格上升。
七、結論
存續期間是債券投資的關鍵工具，它不僅告訴你現金流的平均回收時間，還能預測利率變動對價格的影響。透過麥考利存續期間和修正存續期間的計算，我們可以精確掌握債券的特性。而債券價格與利率的反比關係，則是這個市場的核心邏輯。無論你是保守型投資者還是積極追求收益，理解存續期間都能幫助你做出更明智的決策。
快速總結表格：存續期間重點
| 概念 | 內容 |
|---|---|
| 定義 | 現金流加權平均時間 + 利率敏感度 |
| 白話 | 多久拿回錢 + 利率變動價格跳多大 |
| 公式 | $$ D_{Macaulay} $$ 和 $$ D_{Modified} $$ |
| 與利率關係 | 存續期間長，價格波動大；利率反比 |
依據期限分類
- 貨幣市場證券（Money market security）：債券期限小於等於1年
- 資本市場證券（Capital market security）：債券期限大於1年
- 永續債券：如果一個債券沒有明確到期日（no stated maturity），則稱為永續債券（Perpetual Bond）
類似概念
剩餘期限（Tenor）：
- 剩餘時間（tenor）：是指債券距離到期的時間（remaining time to maturity）
- Maturity是在債券發行時就確定了，該有多長就多長，不要跟Tenor搞混
你好，我是蔡至誠PG，任職於《阿爾發證券投顧》法人金融處，《我畢業五年，用ETF賺到400萬》作者，《提早五年退休：PG 財經個人財務調配術》講師。