William F. Sharpe在1991年的文章《The Arithmetic of Active Management》寫到許多專家不斷論戰被動投資，Sharpe這篇文章用簡單數學規則來推理，並在開頭舉幾個認為主動投資占優勢的論點：
- 追踪標準普爾500指數的基金如今蔚為風潮，在過去的十年裡，其平均數據超過了大部分股票基金，但這是一個永恆的真理，還是只是曇花一現？
- 以投資小型股來說，透過主動式管理的經理人會比單純買入市場好；
- 被動管理的論述僅停留在資本市場中不實際的均衡和複雜理論；
- 不管市場週期如何，任何一所商學院的畢業生都應該有能力擊敗指數型基金。
Sharpe不同意以上的論點，並主張如果我們以理性的方法定義「主動」和「被動」式投資，必定是以下情況：
扣除費用之前：主動式管理投資的平均報酬會相等於被動管理投資的平均回報；
扣除費用之後：主動式管理投資的平均報酬會低於被動管理投資的平均回報。
而且以上論點是萬用的，適用於任何時間，因為這只是依賴根本的數學原則，也就是以加、減、乘、除為基礎，不需要其他條件。
首先必須選擇一個市場，舉標準普爾500指數為例，持有這市場中證券的投資人會被分類為主動投資人與被動投資人。
被動投資人的特徵如下：
總是持有市場中每一種證券，並依據市場份額來決定持有比例，假如某一證券占了市場總價值的3%，被動投資人便持有3%。
而主動投資人的特徵則是：
由於主動管理的方式時常會依據錯誤定價的概念而採取行動，假如該想法變化地越頻繁，投資人更換持股的頻率就越頻繁，因此主動投資人的投資組合有時會不同於被動投資人。
接著是談實拿報酬部分，Sharpe主張被動投資的報酬會高於主動報酬，簡單來講就是基於市場報酬以及成本的原因，Sharpe論證如下：
市場上證券報酬的平均就是市場報酬，而被動投資人因為持有全部市場，在扣除管理成本前也是得到市場報酬。
市場報酬＝（證券＋證券＋證券＋證券＋…）的平均
而被動投資人的投資組合就是要模仿市場上的組成，因此被動投資人的投資報酬也是這樣：
被動投資報酬＝（證券＋證券＋證券＋證券＋…）的平均
因為市場報酬必須等於被動投資人報酬與主動投資人報酬的平均，因此假如前兩項是相同的話，第三項也必定相同。
市場報酬＝（被動投資人＋主動投資人）的平均
到此，Sharpe認為主動投資人最終的報酬會與被動投資人相同。
接下來考慮成本因素後，由於多數主動投資人的投資成本比被動投資人高，因此多數主動投資人的實際報酬會落後更多。
實拿報酬＝市場報酬－成本
Sharpe的文章結論是：主動管理必定落後被動管理。
Because active and passive returns are equal before cost, and because active managers bear greater costs, it follows that the after-cost return from active management must be lower than that from passive management.
這是推理簡單到爆，但卻是依據簡單的算術邏輯。
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