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聖彼得堡悖論是什麼?

聖彼得堡悖論是什麼?

聖彼得堡悖論(St. Petersburg paradox)是決策論中的一個悖論,由尼古拉一世·伯努利提出。

悖論是指某些奇特的推論,這些推論的假設和邏輯看似合理,但卻帶出明顯地不可接受的結論。


聖彼得堡悖論的內容

1730年代,數學家丹尼爾·伯努利的堂兄尼古拉一世·伯努利,在致法國數學家皮耶·黑蒙·德蒙馬特的信件中,提出一個問題:

有一個「擲硬幣擲到正面為止」的賭局,第一次擲出正面,就給你1元。

第一次擲出反面,那就要再擲一次,若第二次擲的是正面,你便賺2元。

若第二次擲出反面,那就要擲第三次,若第三次擲的是正面,你便賺2*2元……如此類推,一直擲到正面為止。

你可能擲一次,賭局便結束,也可能反覆一直擲,擲個沒完沒了。

問題是,你最多肯付多少錢參加這個賭局?

這個賭局的期望值是無限大,即你最多肯付出無限的金錢去參加這個遊戲。但是,你更可能只賺到1元,或者2元,或者4元等,而不可能賺到無限的金錢。

那為什麼肯付出無限的金錢參加賭局呢?

如果限定最多可以擲100次(100次都是反面,就不給你錢了),則期望值為50元,但是一般人都不願意真的付50元去參加這個賭局。

這種遊戲的期望值是無窮大,期望值無窮大代表未來可能賺到的錢可能超乎想像。

不過我們會發現一件奇怪的事情─為什麼沒有人參與這項收益無限的遊戲呢?


為什麼沒有人參與收益無限的遊戲?

丹尼爾·伯努利在1738年的論文裏,對這個悖論提出了解答,他以功用的概念,來挑戰以金額期望值為決策標準,形成預期功用理論。

論文主要包括兩條原理:

  1. 邊際功用遞減原理:一個人對於財富的佔有多多益善,即功用函數一階導數大於零;隨着財富的增加,滿足程度的增加速度不斷下降,功用函數二階導數小於零。
  2. 最大功用原理:在風險和不確定條件下,個人的決策行為準則是為了獲得最大期望功用值而非最大期望金額值。

白努利提出一個理論解決了這個悖論,他認為:

錢不是愈多就越滿足,然而隨着財富的增加,滿足程度的增加速度不斷下降,這概念也就是現在我們所說的「邊際效用遞減」。

這個悖論簡單來說,如果你參與一項遊戲,當這個遊戲在未來的期望收益沒有上限,我們就該參加。


財富不是越多越好

財富從無到有,和從有很多到有更多,效用是完全不一樣的,財富越是增加,增加部分所能創造的影響就越來越小。

把三百萬送給一個社會新鮮人以及身家上千億的富翁,這筆三百萬台幣可能會改變新鮮人的一生,但是這筆錢根本入不了富翁的眼。

另一方面,回想看看國小吃個麥當勞,可以開心好幾天,但到大學時期得吃頓牛排就可以開心好幾天,出了社會滿足同樣感受度的標準又更高了。

這也顯現出第一桶金的重要程度,搶下第一桶金與已經準備攻下第一百桶金的感受度、效用是不一樣的。

從零賺到一千萬,跟從一百億賺到一千萬,感受度、滿足度、愉悅程度是不一樣的。


財富增加後,價值逐漸減少,會越來越規避風險

白努利認為隨著財富增加,我們能中得到的價值會漸漸地減少,最後衍伸出風險規避的心理。

相對於投資債券市場,投資股票市場的報酬可能沒有上限,但多數人不願意承擔股票下跌的風險,進而不願意投資股票。

這麼說並非鼓勵全部投資股票,而是我們取得風險以及期望報酬之間的平衡,找出適合自己的方法。


最快速且安全累積第一桶金的方式

對於還沒有開始投資的人來說,從零開始存錢的難度比我們想像的還要高的許多,因為這時候存錢幾乎沒什麼加速方法,很多人在這裡一開始就陷入的誤區,錯誤地以為小錢變大錢要靠投資。

其實,一開始靠儲蓄,後來才是靠投資。

儲蓄是累積第一桶金的最好方法,投資不是。

先學賺錢存錢,再學如何投資

一開始,只靠投資賺的錢根本跟不上靠薪資收入,與其學投資,不如學怎麼存更多的錢,學怎麼賺更多的錢。

等累積好幾桶金之後,投資才是最好的累積方法,儲蓄的重要性變漸漸降低,等跨過一個門檻之後,光靠特定資產增幅的價值變遠遠超過儲蓄所得。

儲蓄很難,沒有我們想像的簡單,但正因為很難,完成第一桶金的成就感便是最高的,因為這代表一個好的開始。

萬事起頭難,建議還沒有開始投資的朋友,先學儲蓄,再學怎麼將資產放在正確的位置。

如此一來,才能享受待在市場上的好處,要記住:

投資最正確的姿態,是躺著。

持有市場,躺著不動,用低成本拿到應該有的市場報酬,絕對是投資最正確的姿勢,你可以研究被動投資、指數投資以及資產配置的觀念,


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感謝閱讀這篇文章,PG在28歲離開警察職務,現任金融業證券投資顧問,著有「我畢業五年,用ETF賺到400萬」一書,專長為投資管理、退休規劃、財務規劃。

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